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  #1 (permalink)  
Alt 26.01.2008, 20:18
Legende
 
Registriert seit: 07/2006
Beiträge: 787
Standard Mathe-LK 12: Integration von Produkten

So, jetzt häng ich selber an einer Aufgabe zum Thema Stammfunktion fest.

Also, in der Aufgabe geht es um einen Lärmschutzwall einer Rennstrecke.

Der Wall wird durch folgende Funktionenschar dargestellt:

fk(x) = k * x² *e^(-2/3x); x ist Element der reelen Zahlen, k>0

So, jetzt zum Problem, eine Teilaufgabe:

"Weisen sie durch Integration nach, dass
F3 = -9/4 * (2x² + 6x +9) * e^(-2/3x)

eine Stammfunktion von f3(x) ist."

Gesucht ist also die Stammfunktion von fk(x) mit k=3

Meine Rechnung soweit:

f3(x) = 3x² * e^(-2/3x)

Da es sich ja um ein Produkt handelt, von den man die Stammfunktion bilden möchte, ist meine Idee, durch die Methode der Integration von Produkten ein Integral vn f3(x) zu bilden, um von da auf die Stammfunktion zu schließen.

Die Integration von Produkten ist ja:
a∫b = f(g(x)) * g'(x) dx = g(a)∫g(b) f(z)

(Hinweis: das a links vom Integralzeichen ist die untere Grenze, das b die Obere)

Bei f3(x) wäre das Integral dann zu bilden:

0∫b 3x² * e^(-2/3x) dx;

Man muss jetzt eigentlich durch geschicktes Wählen von g(x), f(x) und f(z) sowie Umformen auf eine Form kommen, wie sie in der allgemeinen Formel dargestellt wird.

g(x) = -2/3x
g'(x) = -2/3
f(g(x)) = e^(-2/3x)
z = g(x)
f(z) = e^z


IMO, ist e^(-2/3x) als verkettete Funktion sinvoller als 3x².

Ich hab dann noch gemäß den Integralregeln die 3 vor das Integral gesetzt:

3 * 0∫b e^(-2/3x) * x² dx

Und hier hänge ich fest.

Theoretisch müsste ich die x²so Erweitern, dass aus ihr g'(x) wird, also -2/3. Und das will nicht so recht bei mir funktionieren.

Weiß also jemand Rat, wie ich nun weiterkomme? Hab ich (Denk-)Fehler? Oder es der Lösungsweg ein ganz anderer?
Danke schon mal im Vorraus für jede Hilfe
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  #2 (permalink)  
Alt 27.02.2008, 21:06
Newbie
 
Registriert seit: 02/2008
Beiträge: 1

Standard

Der bessere Ansatz wäre über partielle Integration (http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration).

Ich denke mal, dein e^(-2/3x) bedeutet e^(-2x/3). Dann wäre der Lösungsweg:

 

F3(x) = ∫3x^2*e(-2x/3)dx = -9/2x^2*e(-2x/3)+9∫xe^(-2x/3)dx = -9/2x^2*e(-2x/3)+9(-3/2xe^(-2x/3)+3/2∫e^(-2x/3)dx) = -9/2x^2*e^(-2x/3)-27/2xe^(-2x/3)-81/4e^(-2x/3)
und das ist dann
= -9/4(2x^2+6x+9)e^(-2x/3) q.e.d.
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  #3 (permalink)  
Alt 27.02.2008, 21:30
Benutzerbild von Nazgul
Mitey Pirabbite
 
Registriert seit: 05/2002
Ort: Unter der Brücke, wo sonst?
Beiträge: 3.338
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Zitat:
Zitat von kaaasi Beitrag anzeigen
Der bessere Ansatz wäre über partielle Integration.
Stimmt genau

@Sinistral
Habt ihr die denn schon durchgenommen?
Also wir erst vor einer Woche, aber ich weiß ja nicht, wie schnell dein LK ist

Peace
__________________
 
Schon gewusst? Es gibt seit 2012-09-18 Eastereggs in meinen Posts! :D
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  #4 (permalink)  
Alt 28.02.2008, 10:40
Legende
 
Registriert seit: 07/2006
Beiträge: 787
Standard

Danke erstmal für die Lösungsvorschläge. Wir hatten vor einiger Zeit auch den Lösungsweg mit partieller Integration durchgenommen, hätte ich eigentlich mal editieren sollen...


@Nazgul
Ja, die hatten wir sogar kurz vor der Integration durch Subtitution durchgenommen.
Zur Zeit sind wir grade bei der Multiplikation eines Vektors, falls es dich interessiert.

Geändert von Raguna (29.02.2008 um 21:01 Uhr)
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  #5 (permalink)  
Alt 28.02.2008, 19:04
Benutzerbild von Nazgul
Mitey Pirabbite
 
Registriert seit: 05/2002
Ort: Unter der Brücke, wo sonst?
Beiträge: 3.338
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Zitat:
Zitat von Sinistral Beitrag anzeigen
Zur Zeit sind wir grade bei der Multiplikation von Vektoren, falls es dich interessiert.
Lol! Mein Physik-LK-Lehrer ist so kränk, der hat uns die schon vor Monaten beigebracht

Peace
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