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  #1 (permalink)  
Alt 08.02.2009, 21:11
Legende
 
Registriert seit: 07/2006
Beiträge: 787
Standard Integration durch Substitution - Schwierige Aufgaben

Jojo, ich lern grad für das Abi (Mathe-LK) und häng' an mehreren Aufgaben zu einem meiner liebsten Hassthemen in Mathe fest, Intergration.
Die Aufgaben wo ich nicht weiterkomme richten sich also an die Integrationsfetischisten unter euch, ich bin für jede kleine Hilfe dankbar:

"Bestimmen sie Stammfunktion und Integral"
(Anm.: Ich benutz hier mal für das Integrationszeichen ein "S")

4
S ln (0,4x - 0,2) dx
1

durch Substitution komm ich hier schon mal gar nicht weiter, jedoch mit linearer Verkettung (was als alternativer Lösungsweg auch angemerkt ist):

u(v(x) = ln(v(x));

v(x) = 0,4x - 0,2;

gemäß der Regel f(x) = u(v(rx + s); F(x) =1/r U(rx + s)
bekomm ich dann das hier als Integral raus (r=0,4 und s = -0,2):
4
[1/(0,4) * (0,4x + -0,2) + ln (|0,4x - 0,2|) - (0,4x - 0,2)]
1
könnte diese Zeile stimmen / wie kann man durch Substitution die Aufgabe lösen?
~~~

Die Aufgabenstellung ist bei der nächsten Funktion auch die Gleiche:


S 4 / (x * ln(x)) dx;
e

als erstes dachte ich, könnte man die 4 als Vorfaktor vor das Integral schreiben:



4 S 1/ (x * ln(x)) dx;
e

wenn man das ganze lösen will, hab ich überlegt, könnte man den Funktionsterm als Produkt schreiben und versuchen, mit der Produktintegration von

1/x * 1/ln(x) zu lösen, jedoch kam ich zu keinem brauchbaren Ergebniss. Ideen? °

~~~
Die nächste Aufgabe ist auch schwer, imo:

"Berechnen sie das Integral mit Hilfe einer geeigneten Substitution"

-ln(2)
S e^(4x) / (e^(2x) + 3 dx
0

das hab ich ungeschrieben in:

-ln(2)
S e^(4x) * 1/((e^(2x) + 3)
0

wenn ich hier g(x) = e^(2x) + 3 nehme,

g'(x) = 2e^(2x) als Ableitung folgt,

f(g(x) = 1/g(x) nehme und

z = g(x) -> f(z) = 1/z setze,

müsste ich durch Erweiterung eigentlich nur noch e^(4x) in die Form von g'(x) umwandeln. Jedoch kan ich nur mit * 2 / 2 das ganze in diese Form bringen:


-ln(2)
0,5*S 2e^(4x) * 1/((e^(2x) + 3)
0
würde jetzt da 2e^(2x) stehen, könnte ich weiterrechnen, aber das steht da nicht.

schon mal danke im voraus für die Hilfe (falls jemand helfen kann x_X)
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  #2 (permalink)  
Alt 08.02.2009, 22:03
Benutzerbild von Kirika1987
Legende
 
Registriert seit: 03/2008
Ort: NRW
Beiträge: 808
Standard

Hast du vielleicht ICQ oder MSN?
Da lassen sich solche Dinge einfacher erklären, finde ich.
Falls ja, dann schreib mich doch da einfach an, ich habe heute Abend Zeit dafür und traue mir das zu.

Schonmal zur ersten Aufgabe: Substituiere doch mal das Argument des ln gegen t.
Das sollte es einfacher machen.

Die Zweite: 4 rausziehen ist gut, dann würde ich das x gegen e^t ersetzen, das plättet deinen ln.

Die Dritte: Dein Ansatz fiel mir auch als Erstes ein, aber scheinbar muss da noch ein Trick bemüht werden.
Ich würde es hier mit x gegen ln(t) versuchen, denn dann kannst du damit aus z.B. e^(4x) ein e^(4*ln(t)) = e^(ln(t^4)) = t^4 machen.
Damit wird es vielleicht einfacher.
Eventuell tut es auch ln(t^2), das könnte man auch noch versuchen.
__________________
Die deutsche Rechtschreibung ist Freeware; sprich, du kannst sie kostenlos nutzen.
Allerdings ist sie nicht Open Source, d.h. du darfst sie nicht verändern,
oder in veränderter Form veröffentlichen oder verwenden.

Geändert von Kirika1987 (08.02.2009 um 22:24 Uhr)
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  #3 (permalink)  
Alt 09.02.2009, 00:02
Benutzerbild von Nazgul
Mitey Pirabbite
 
Registriert seit: 05/2002
Ort: Unter der Brücke, wo sonst?
Beiträge: 3.338
Nazgul eine Nachricht über ICQ schicken

Standard

Ich hab mir noch nicht alles angeschaut, aber bei der ersten würde ich das gesamte Argument des ln substituieren. Bei

y= 0,4x-0,2

folgt für:

dy/dx=0,4 => dx=dy/0,4

dann das 1/0,4 vor's Integral schieben und du hast ein "einfaches"

S ln(y)dy

Formelsammlung ftw

Bei der zweiten sieht das für mich direkt nach HDI (Hauptsatz der Integration) aus. Da die Ableitung von ln(x) durch ln(x) selber geteilt wird.

S f'/f = ln(f)

(Siehe Formelsammlung)... das ist das erste mal, dass mir sowas auffällt... Warum nur bei jemand anders?

Bei der dritten Aufgabe hätte ich prinzipiell einen anderen Weg. Weiß aber nicht, wie gut der funktioniert.
Man substituiert:

y=e^2x

Dann folgt:

S y/(y^2+3)

Sehr schwer ist der Rest dann aber glaub ich nicht zu lösen.
Partiell integrieren, wieder substituieren, dürfte beides ab da möglich sein.

Viel Glück!
Peace
__________________
 
Schon gewusst? Es gibt seit 2012-09-18 Eastereggs in meinen Posts! :D
(bitte gib mal bescheid, wenn du eins, oder das hier Entdeckst)
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  #4 (permalink)  
Alt 09.02.2009, 12:58
Benutzerbild von Lord_Data
*wuff wuff*
 
Registriert seit: 09/2003
Ort: Buer im Pott :D
Beiträge: 4.871
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Zitat:
Zitat von Nazgul Beitrag anzeigen

Bei der zweiten sieht das für mich direkt nach HDI (Hauptsatz der Integration) aus. Da die Ableitung von ln(x) durch ln(x) selber geteilt wird.

S f'/f = ln(f)

(Siehe Formelsammlung)... das ist das erste mal, dass mir sowas auffällt... Warum nur bei jemand anders?
Das is richtig, die Stammfunktion müsste ln(ln(x)) dann sein. Da muss man nix substituieren.
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