Hilfe   Registrieren   Community   Suchen
  Kalender   Heutige Beiträge   Chat

Zurück   Seiken Densetsu Community > Weitere Themen > Schul- & Studienfragen > Naturwissenschaften


Antwort
 
LinkBack Themen-Optionen Ansicht
  #1 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 14:41
Benutzerbild von Miraya
Halbgott
 
Registriert seit: 10/2002
Ort: Essen
Beiträge: 530
Miraya eine Nachricht über ICQ schicken

Standard Integral arcsin

Hey, ich habe ein Problem. Und zwar möchte ich gerne ein Integral berechnen. Dazu habe ich auch schon die Lösung, nur eben verstehe ich den Weg dahin nicht, oder weiß vielmehr nicht genau wie ich vorgehen muss. Also, das Integral lautet: 1/π * Integral a bis b von 1(x(1-x))^(-1/2) dx. Und rauskommen sollte eigentlich: 2/π * (arcsin(wurzel(b)) - arcsin(wurzel(a))). Nur irgendwie hab ichs schon zig mal versucht, bekomme aber die richtige Substitution nicht hin. Und so fehlen mir die Zwischenschritte.... Ich hoffe ihr könnt alles lesen, Danke schon mal...
__________________
Tapferkeit, Liebe, Freundschaft,
Mitleid und Einfühlungsvermögen
unterscheiden uns von den Tieren
und machen uns zu Menschen.

(Buch des Gezählten Leids)

-Öbstliches Mitglied des gesunden Duos-
Das Pfläumchen
Mit Zitat antworten
  #2 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 18:35
Benutzerbild von Kirika1987
Legende
 
Registriert seit: 03/2008
Ort: NRW
Beiträge: 808
Standard

Ich denke, ich habe es:

Ich lasse den Faktor 1/Pi erstmal überall weg, den schreiben wir zum Schluss wieder dran, da der am Integrieren ja eh nichts ändert.

Zuerst ergänzt du quadratisch unter der Wurzel:
x - x^2 = -(x^2 -x) = -(x^2 - x + (1/2)^2 - (1/2)^2) = -(x^2 - x + (1/2)^2) + (1/2)^2 = -(x - 1/2)^2 + 1/4

Also hast du noch:
1/ ( 1/4 - (x - 1/2)^2)^(1/2)

Das möchtest du in die Gestalt 1/ ( 1 - (bla)^2)^(1/2) bringen.
Dafür musst du im Nenner mit 2 erweitern (da 2 unter die Wurzel gezogen eine 4 gibt, sodass das 1/4 zu 1/4 * 4 = 1 wird):

Hier nur der Nenner:
(1/4 - (x - 1/2)^2)^(1/2) = 1/2 * (2^2 * 1/4 - (2*(x-1/2))^2)^(1/2) = 1/2 * (1 - (2x - 1)^2)^(1/2)

Zusammen mit dem Zähler (der noch immer 1 ist) ergibt das als neuen Integranden:

1 / (1/2 * (1 - (2x - 1)^2)^(1/2)) = 2* (1 - (2x-1)^2)^(-1/2)

Den Faktor 2 ziehen wir mit vor das Integral, damit ist unser Vorfaktor nun 2/Pi, wie er es auch hinterher sein soll.

Das müssen wir jetzt integrieren:

(1 - (2x - 1)^2)^(-1/2)

Nun kommt die Substitution:
Wir setzen t = 2x - 1, also werden unsere Grenzen statt a und b nun 2a -1 und 2b - 1.
Außerdem das Differential umschreiben:
Aus t = 2x - 1 folgt dt / dx = 2, also ist dx = 1/2 * dt
Das 1/2 kürzt gerade das 2 aus dem Vorfaktor 2/Pi.
Und damit lautet unser neues Integral:

Integral von 2a-1 bis 2b-1 über (1 - t^2)^(-1/2) dt

Die Stammfunktion zu (1 - t^2)^(-1/2) ist der arcsin.

Da setzen wir unsere Grenzen ein, und erhalten:

arcsin(2b-1) - arcsin(2a-1)

Jetzt kommt noch dazu, dass arcsin(2b-1) = 2*arcsin( b^(1/2)) ist, das Gleiche gilt auch mit a.

Mit unserem Vorfaktor 1/Pi bekommst du dann:

2/Pi * [arcsin(wurzel(b)) - arcsin(wurzel(a))]

und genau das wolltest du ja haben.



Ich hoffe, du kommst damit nun besser zurecht.

Alle entscheidenden Schritte habe ich dafür extra rot markiert, so kannst du die erst allein versuchen, und dann abgleichen.
__________________
Die deutsche Rechtschreibung ist Freeware; sprich, du kannst sie kostenlos nutzen.
Allerdings ist sie nicht Open Source, d.h. du darfst sie nicht verändern,
oder in veränderter Form veröffentlichen oder verwenden.

Geändert von Kirika1987 (09.05.2009 um 19:01 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #3 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 18:55
Benutzerbild von Nazgul
Mitey Pirabbite
 
Registriert seit: 05/2002
Ort: Unter der Brücke, wo sonst?
Beiträge: 3.338
Nazgul eine Nachricht über ICQ schicken

Standard

Kurzes OT:
Das ist Stoff, der im Studium dran kommt, hab ich recht?

Peace
__________________
 
Schon gewusst? Es gibt seit 2012-09-18 Eastereggs in meinen Posts! :D
(bitte gib mal bescheid, wenn du eins, oder das hier Entdeckst)
Mit Zitat antworten
  #4 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 19:01
Benutzerbild von Kirika1987
Legende
 
Registriert seit: 03/2008
Ort: NRW
Beiträge: 808
Standard

Streng genommen wüsste ich nicht, was dagegen spricht, diese Aufgabe auch im Mathe-LK zu stellen.
__________________
Die deutsche Rechtschreibung ist Freeware; sprich, du kannst sie kostenlos nutzen.
Allerdings ist sie nicht Open Source, d.h. du darfst sie nicht verändern,
oder in veränderter Form veröffentlichen oder verwenden.
Mit Zitat antworten
  #5 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 19:25
Benutzerbild von Nazgul
Mitey Pirabbite
 
Registriert seit: 05/2002
Ort: Unter der Brücke, wo sonst?
Beiträge: 3.338
Nazgul eine Nachricht über ICQ schicken

Standard

Die Tatsache, dass wir nie den Kreis im Unterricht integriert haben, die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen aus dem LK-Lehrplan "vorrübergehend" gestrichen wurden (stimmt, weil es mittlerweile gar keine LKs mehr gibt ) und somit wohl auch nie gelernt haben, dass das Integral von(1-x^2)^(-1/2) der arcsin ist.

Peace

... trotzdem: lernen will!
__________________
 
Schon gewusst? Es gibt seit 2012-09-18 Eastereggs in meinen Posts! :D
(bitte gib mal bescheid, wenn du eins, oder das hier Entdeckst)
Mit Zitat antworten
  #6 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 19:28
Benutzerbild von Kirika1987
Legende
 
Registriert seit: 03/2008
Ort: NRW
Beiträge: 808
Standard

Ist diese Streichung bundesweit geschehen, oder nur regional oder gar auf eure Schule begrenzt?

Im Zentralabitur könnte man die durchaus stellen, denke ich.
Es sei denn natürlich, das wäre bundesweit einheitlich nicht besprochen worden.
__________________
Die deutsche Rechtschreibung ist Freeware; sprich, du kannst sie kostenlos nutzen.
Allerdings ist sie nicht Open Source, d.h. du darfst sie nicht verändern,
oder in veränderter Form veröffentlichen oder verwenden.
Mit Zitat antworten
  #7 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 19:31
Benutzerbild von Nazgul
Mitey Pirabbite
 
Registriert seit: 05/2002
Ort: Unter der Brücke, wo sonst?
Beiträge: 3.338
Nazgul eine Nachricht über ICQ schicken

Standard

Also in Bayern wurde die 6. LK-Stunde "vorrübergehend" gestrichen. Deswegen hatten wir keinen arcsin bis arctan.

Wie es Bundesweit ausschaut, hab ich natürlich keine Ahnung. Da kocht ja jedes Land sein eigenes Süppchen.

Peace
__________________
 
Schon gewusst? Es gibt seit 2012-09-18 Eastereggs in meinen Posts! :D
(bitte gib mal bescheid, wenn du eins, oder das hier Entdeckst)
Mit Zitat antworten
  #8 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 19:55
Benutzerbild von Miraya
Halbgott
 
Registriert seit: 10/2002
Ort: Essen
Beiträge: 530
Miraya eine Nachricht über ICQ schicken

Standard

Hey hey,
das ist echt super. Ich hatte auch die gleiche Substitution, aber mir hatte immer der letzte Schritt gefehlt mit der Wurzel. Und deshalb dachte ich, es wäre vollkommen falsch!
Aber jetzt ist alles schön und super, vielen vielen Dank! Jetzt steht meinem Seminarvortrag nichts mehr im Wege
__________________
Tapferkeit, Liebe, Freundschaft,
Mitleid und Einfühlungsvermögen
unterscheiden uns von den Tieren
und machen uns zu Menschen.

(Buch des Gezählten Leids)

-Öbstliches Mitglied des gesunden Duos-
Das Pfläumchen
Mit Zitat antworten
  #9 (permalink)  
Alt 09.05.2009, 19:56
Benutzerbild von Kirika1987
Legende
 
Registriert seit: 03/2008
Ort: NRW
Beiträge: 808
Standard

Wunderbar.

Denk nur daran, dass für a und b gewisse Einschränkungen gelten müssen, da der arcsin nur von -1 bis 1 definiert ist. Ansonsten drück ich dir die Daumen für den Vortrag.
__________________
Die deutsche Rechtschreibung ist Freeware; sprich, du kannst sie kostenlos nutzen.
Allerdings ist sie nicht Open Source, d.h. du darfst sie nicht verändern,
oder in veränderter Form veröffentlichen oder verwenden.
Mit Zitat antworten
Antwort

Lesezeichen

Themen-Optionen
Ansicht

Forumregeln
Es ist dir nicht erlaubt, neue Themen zu verfassen.
Es ist dir nicht erlaubt, auf Beiträge zu antworten.
Es ist dir nicht erlaubt, Anhänge hochzuladen.
Es ist dir nicht erlaubt, deine Beiträge zu bearbeiten.

BB-Code ist an.
Smileys sind an.
[IMG] Code ist an.
HTML-Code ist aus.
Trackbacks are an
Pingbacks are an
Refbacks are an



Alle Zeitangaben in WEZ +2. Es ist jetzt 22:58 Uhr.


Powered by vBulletin® (Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Search Engine Optimization by vBSEO 3.3.0)