Integral arcsin

Miraya

Halbgott
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Hey, ich habe ein Problem. Und zwar möchte ich gerne ein Integral berechnen. Dazu habe ich auch schon die Lösung, nur eben verstehe ich den Weg dahin nicht, oder weiß vielmehr nicht genau wie ich vorgehen muss. Also, das Integral lautet: 1/π * Integral a bis b von 1(x(1-x))^(-1/2) dx. Und rauskommen sollte eigentlich: 2/π * (arcsin(wurzel(b)) - arcsin(wurzel(a))). Nur irgendwie hab ichs schon zig mal versucht, bekomme aber die richtige Substitution nicht hin. Und so fehlen mir die Zwischenschritte.... Ich hoffe ihr könnt alles lesen, Danke schon mal...
 

Kirika1987

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Ich denke, ich habe es:

Ich lasse den Faktor 1/Pi erstmal überall weg, den schreiben wir zum Schluss wieder dran, da der am Integrieren ja eh nichts ändert.

Zuerst ergänzt du quadratisch unter der Wurzel:
x - x^2 = -(x^2 -x) = -(x^2 - x + (1/2)^2 - (1/2)^2) = -(x^2 - x + (1/2)^2) + (1/2)^2 = -(x - 1/2)^2 + 1/4

Also hast du noch:
1/ ( 1/4 - (x - 1/2)^2)^(1/2)

Das möchtest du in die Gestalt 1/ ( 1 - (bla)^2)^(1/2) bringen.
Dafür musst du im Nenner mit 2 erweitern (da 2 unter die Wurzel gezogen eine 4 gibt, sodass das 1/4 zu 1/4 * 4 = 1 wird):

Hier nur der Nenner:
(1/4 - (x - 1/2)^2)^(1/2) = 1/2 * (2^2 * 1/4 - (2*(x-1/2))^2)^(1/2) = 1/2 * (1 - (2x - 1)^2)^(1/2)

Zusammen mit dem Zähler (der noch immer 1 ist) ergibt das als neuen Integranden:

1 / (1/2 * (1 - (2x - 1)^2)^(1/2)) = 2* (1 - (2x-1)^2)^(-1/2)

Den Faktor 2 ziehen wir mit vor das Integral, damit ist unser Vorfaktor nun 2/Pi, wie er es auch hinterher sein soll.

Das müssen wir jetzt integrieren:

(1 - (2x - 1)^2)^(-1/2)

Nun kommt die Substitution:
Wir setzen t = 2x - 1, also werden unsere Grenzen statt a und b nun 2a -1 und 2b - 1.
Außerdem das Differential umschreiben:
Aus t = 2x - 1 folgt dt / dx = 2, also ist dx = 1/2 * dt
Das 1/2 kürzt gerade das 2 aus dem Vorfaktor 2/Pi.
Und damit lautet unser neues Integral:

Integral von 2a-1 bis 2b-1 über (1 - t^2)^(-1/2) dt

Die Stammfunktion zu (1 - t^2)^(-1/2) ist der arcsin.

Da setzen wir unsere Grenzen ein, und erhalten:

arcsin(2b-1) - arcsin(2a-1)

Jetzt kommt noch dazu, dass arcsin(2b-1) = 2*arcsin( b^(1/2)) ist, das Gleiche gilt auch mit a.

Mit unserem Vorfaktor 1/Pi bekommst du dann:

2/Pi * [arcsin(wurzel(b)) - arcsin(wurzel(a))]

und genau das wolltest du ja haben.



Ich hoffe, du kommst damit nun besser zurecht.

Alle entscheidenden Schritte habe ich dafür extra rot markiert, so kannst du die erst allein versuchen, und dann abgleichen.
 
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Nazgul

Mitey Pirabbite
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Kurzes OT:
Das ist Stoff, der im Studium dran kommt, hab ich recht?

Peace^^
 

Kirika1987

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Streng genommen wüsste ich nicht, was dagegen spricht, diese Aufgabe auch im Mathe-LK zu stellen.
 

Nazgul

Mitey Pirabbite
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Die Tatsache, dass wir nie den Kreis im Unterricht integriert haben, die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen aus dem LK-Lehrplan "vorrübergehend" gestrichen wurden (stimmt, weil es mittlerweile gar keine LKs mehr gibt ^^) und somit wohl auch nie gelernt haben, dass das Integral von(1-x^2)^(-1/2) der arcsin ist. ;)

Peace^^

... trotzdem: lernen will!^^
 

Kirika1987

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Ist diese Streichung bundesweit geschehen, oder nur regional oder gar auf eure Schule begrenzt?

Im Zentralabitur könnte man die durchaus stellen, denke ich.
Es sei denn natürlich, das wäre bundesweit einheitlich nicht besprochen worden.
 

Nazgul

Mitey Pirabbite
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Also in Bayern wurde die 6. LK-Stunde "vorrübergehend" gestrichen. Deswegen hatten wir keinen arcsin bis arctan.

Wie es Bundesweit ausschaut, hab ich natürlich keine Ahnung. Da kocht ja jedes Land sein eigenes Süppchen. ;)

Peace^^
 
OP
OP
Miraya

Miraya

Halbgott
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Hey hey,
das ist echt super. Ich hatte auch die gleiche Substitution, aber mir hatte immer der letzte Schritt gefehlt mit der Wurzel. Und deshalb dachte ich, es wäre vollkommen falsch!
Aber jetzt ist alles schön und super, vielen vielen Dank! Jetzt steht meinem Seminarvortrag nichts mehr im Wege :)
 

Kirika1987

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Wunderbar. :)

Denk nur daran, dass für a und b gewisse Einschränkungen gelten müssen, da der arcsin nur von -1 bis 1 definiert ist. Ansonsten drück ich dir die Daumen für den Vortrag. ;)
 
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