So, jetzt häng ich selber an einer Aufgabe zum Thema Stammfunktion fest.:grmpf:
Also, in der Aufgabe geht es um einen Lärmschutzwall einer Rennstrecke.
Der Wall wird durch folgende Funktionenschar dargestellt:
fk(x) = k * x² *e^(-2/3x); x ist Element der reelen Zahlen, k>0
So, jetzt zum Problem, eine Teilaufgabe:
"Weisen sie durch Integration nach, dass
F3 = -9/4 * (2x² + 6x +9) * e^(-2/3x)
eine Stammfunktion von f3(x) ist."
Gesucht ist also die Stammfunktion von fk(x) mit k=3
Meine Rechnung soweit:
f3(x) = 3x² * e^(-2/3x)
Da es sich ja um ein Produkt handelt, von den man die Stammfunktion bilden möchte, ist meine Idee, durch die Methode der Integration von Produkten ein Integral vn f3(x) zu bilden, um von da auf die Stammfunktion zu schließen.
Die Integration von Produkten ist ja:
a∫b = f(g(x)) * g'(x) dx = g(a)∫g(b) f(z)
(Hinweis: das a links vom Integralzeichen ist die untere Grenze, das b die Obere)
Bei f3(x) wäre das Integral dann zu bilden:
0∫b 3x² * e^(-2/3x) dx;
Man muss jetzt eigentlich durch geschicktes Wählen von g(x), f(x) und f(z) sowie Umformen auf eine Form kommen, wie sie in der allgemeinen Formel dargestellt wird.
g(x) = -2/3x
g'(x) = -2/3
f(g(x)) = e^(-2/3x)
z = g(x)
f(z) = e^z
IMO, ist e^(-2/3x) als verkettete Funktion sinvoller als 3x².
Ich hab dann noch gemäß den Integralregeln die 3 vor das Integral gesetzt:
3 * 0∫b e^(-2/3x) * x² dx
Und hier hänge ich fest.
Theoretisch müsste ich die x²so Erweitern, dass aus ihr g'(x) wird, also -2/3. Und das will nicht so recht bei mir funktionieren.
Weiß also jemand Rat, wie ich nun weiterkomme? Hab ich (Denk-)Fehler? Oder es der Lösungsweg ein ganz anderer?
Danke schon mal im Vorraus für jede Hilfe
Also, in der Aufgabe geht es um einen Lärmschutzwall einer Rennstrecke.
Der Wall wird durch folgende Funktionenschar dargestellt:
fk(x) = k * x² *e^(-2/3x); x ist Element der reelen Zahlen, k>0
So, jetzt zum Problem, eine Teilaufgabe:
"Weisen sie durch Integration nach, dass
F3 = -9/4 * (2x² + 6x +9) * e^(-2/3x)
eine Stammfunktion von f3(x) ist."
Gesucht ist also die Stammfunktion von fk(x) mit k=3
Meine Rechnung soweit:
f3(x) = 3x² * e^(-2/3x)
Da es sich ja um ein Produkt handelt, von den man die Stammfunktion bilden möchte, ist meine Idee, durch die Methode der Integration von Produkten ein Integral vn f3(x) zu bilden, um von da auf die Stammfunktion zu schließen.
Die Integration von Produkten ist ja:
a∫b = f(g(x)) * g'(x) dx = g(a)∫g(b) f(z)
(Hinweis: das a links vom Integralzeichen ist die untere Grenze, das b die Obere)
Bei f3(x) wäre das Integral dann zu bilden:
0∫b 3x² * e^(-2/3x) dx;
Man muss jetzt eigentlich durch geschicktes Wählen von g(x), f(x) und f(z) sowie Umformen auf eine Form kommen, wie sie in der allgemeinen Formel dargestellt wird.
g(x) = -2/3x
g'(x) = -2/3
f(g(x)) = e^(-2/3x)
z = g(x)
f(z) = e^z
IMO, ist e^(-2/3x) als verkettete Funktion sinvoller als 3x².
Ich hab dann noch gemäß den Integralregeln die 3 vor das Integral gesetzt:
3 * 0∫b e^(-2/3x) * x² dx
Und hier hänge ich fest.
Theoretisch müsste ich die x²so Erweitern, dass aus ihr g'(x) wird, also -2/3. Und das will nicht so recht bei mir funktionieren.
Weiß also jemand Rat, wie ich nun weiterkomme? Hab ich (Denk-)Fehler? Oder es der Lösungsweg ein ganz anderer?
Danke schon mal im Vorraus für jede Hilfe
