Stochastik: Roulette-Aufgabe!

[Luna]

Wir haben vor ein paar Wochen in Mathe mit Stochastik angefangen (Grundkurs) und schreiben am Montag einen Test.

EIne Aufgabe, die ich nicht verstehe ist:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulette-Spiel die Null spätestens beim dritten Drehen kommt?

Wir haben als Lösung 1/37 gesagt bekommen und das sehe ich nicht ein.
Wir haben bisher nur die Pfadregeln durchgenommen, und damit habe ich mir folgendes überlegt: die Null muss entweder beim 1., beim 2. oder beim dritten Drehen kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Null beim ersten Drehen rauskommt ist 1/37. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Null beim zweiten Drehen rauskommt ist 36/37 * 1/37 = 36/1369. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Null beim dritten Drehen rauskommt ist 36/37 * 36/37 * 1/37 = 1296/50653.
Dann habe ich diese drei Wahrscheinlichkeiten addiert, also: 1/37 + 36/1369 + 1296/50653 = 3997/50653
Ich hab die Aufgabe schon ein paar Mal gerechnet und komme immer auf dieses Ergebnis. Was mache ich falsch? Oder ist die Lösung, die wir gesagt bekommen haben, falsch?? Ich wäre echt froh, wenn mir jemand helfen könnte! Danke!

 

[Beff]

Da es ja für die Lösung deiner Aufgabe uninteressant ist, ob die 0 nach dem 3. Wurf einmal, zweimal oder dreimal vorkam, kannst du einfach 3 * 1/37 rechnen, da du ja drei unabhängige Drehungen voneinander hast. Deine "Lösung" würde zutreffen, wenn du die jeweils gedrehte Zahl (z.B. die 13 im ersten "Wurf") aus dem Roulettetisch ausschneiden würdest, was man beim Roulette normalerweise ja nicht tut

Hoffe, ich konnte helfen

 

[Digedag]

Das einzige Problem kann im Verständnis der Frage liegen.

Meiner Auffassung nach soll man ausrechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Null bei drei Würfen mindestens einmal erscheint.

Wenn meine Auffassung richtig ist, dann ist auch Luna's Ergebnis richtig.

Meine Rechnug: 36³/37³ ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3x keine Null kommt.
1-36³/37³ ist das Gegenereignis(also mindestens einmal die Null).

 

[MicalLex]

Hast du dir Beffs Post überhaupt durchgelesen?

Er sagte doch, daß es egal ist, wann die 0 erdreht wird und das die Lösung 3*1/37 bzw. 3/37 ist.

Ist doch viel unkomplizierter als deine Angaben...

 

[Digedag]

Ja, ich habe mir Beffs post durchgelesen. Hättest du dir meinen post durchgelesen dann wüsstest du auch, dass ich auf ein anderes Ergebnis gekommen bin als er.

Luna hat im übrigen nie den Roulettetisch verkleinert, denn sie hat immer 37 im Nenner stehen. Sie berechnet im Gegensatz zu Beff jedoch mit ein, dass das gewünschte Ereignis bei Wurf 2 und 3 schon eingetreten sein kann und deswegen ist ihr Ergebnis um 110/50653 kleiner als das von Beff.

 

[Luna]

Hm, also erst mal danke für eure Antworten.
Beffs Ergebnis kann in meinen Augan nicht zutreffen. Würde man nach seinen Überlegungen weiterdenken, dann wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Null spätestens beim 37. Mal kommt 37*1/37=37/37=1, und das würde bedeuten, dass nach 37 Drehungen die Null auf jeden Fall vorgekommen sein muss und das kann ja nicht sein, oder?
Digegads Ergebnis über das Gegenereignis erscheint mir logisch, kann aber auch sein, dass das daran liegt, dass ich mittlerweile so auf diese Lösung fixiert bin... Naja, dann kann ich nur hoffen, dass in dem Test morgen sowas nicht dran kommt...

 

[MicalLex]

Hm, also erst mal danke für eure Antworten.
Beffs Ergebnis kann in meinen Augan nicht zutreffen. Würde man nach seinen Überlegungen weiterdenken, dann wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Null spätestens beim 37. Mal kommt 37*1/37=37/37=1, und das würde bedeuten, dass nach 37 Drehungen die Null auf jeden Fall vorgekommen sein muss und das kann ja nicht sein, oder?

Warum sollte das nicht so sein? Da die 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/37 (ungleich 0) getroffen wird, muß es nach einer gewissen Anzahl von Drehungen vorkommen, daß sie getroffen wird...
Betrachte es mal andersherum, jeder 37. Dreh bringt eine Null. Das bedeutet doch nur, z.b. unter 74 Drehern 2 Mal die Null dabei wäre, unter 111 3 Mal die Null. Dann ist es egal, ob die Null beim 36. und beim 41. Mal erdreht wurde oder mit dem 60. und 63. Dreh...
Allerdings wird es sich bei 1/37 wohl nicht um den tatsächlichen Wert handeln (ich schätze mal, das Rad hat 37 Felder), da ja noch viel mehr Faktoren reinspielen wie die Geschwindigkeit, mit der das Rad gedreht wird, die Stelle, an der die Kugel reingeworfen wird, usw...
Dadurch würde der Nenner wohl so erhöht werden, daß man dann beispielsweise 1247 Mal drehen müßte, um auf die 100% zu kommen. Und ich denke, bei so einer Zahl, fällt es dir auch leichter zu glauben, daß die Null einmal erscheint, oder?

 

[3x4|d3r4n]

Beff hat doch recht, der Post ist doch net so schwer zu verstehen. XD

Auch beim 2. und 3. Mal bleibt die Chance auf eine 0 gleich,
sie wird ja nicht ausm Spiel genommen, wie Beff schon gesagt hat.
Es ist ja auch nur reine Statistik. Die 0 kommt warscheinlich beim 37. Dreh.
Muss ja nicht, kann auch vorher oder später kommen.

Bei der Stochastik geht es ja auch nur um Warscheinlichkeiten
und nicht um Garantien. Wär ja toll wenn in jedem 7. Ü-Ei zu 100%
ne Figur drin wäre.^^

 

[Beff]

ok, ich gebe zu, die Antwort war etwas lasch formuliert...

Ich meinte 3 * 1/37 sei die richtige Lösung.
Numerisch hieße das: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,081081081, sprich 8,1% kommt die Null im dritten "Wurf" (der dritten Drehung)


Richtig wäre aber die Rechnung über den entgegengesetzten Fall ("Die Null wird NICHT gedreht"):
Nach dem n-ten Wurf, ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE Null zu drehen p* = (1-p0)^n , wobei p0 die Wahrscheinlichkeit für eine Null in EINER Drehung ist, also 1/37. n ist hier die Anzahl der Drehungen. Mit deinen Zahlenwerten ergibt sich also:
p* = (1 - 1/37)^3 = (36/37)^3 = 0,921090557. Willst du nun das Ergebnis, dass NICHT KEINE (also eine oder mehr) Nullen gedreht werden kommst du auf 1 - p* = 1-0,921090557 = 0,078909443.


Für diese kleinen Werte 3/37 ist es also noch relativ uninteressant ob man die obere Näherung oder den unteren korrekten Wert berechnet; aber du hast Recht; wenn n gegen bzw. über 37 geht, kommt man mit der oberen Rechnung in Schwierigkeiten.

Digedag hatte also Recht

 

[3x4|d3r4n]

Also ich bin mal nach dem Baum-Diagramm gegangen,
da warens 0,083292203 (8,3292203%) bei:

1/37-->1/37-->1/37 = 0,000019742
0/37-->1/37-->1/37 = 0,00073046
0/37-->0/37-->1/37 = 0,027027027
1/37-->1/37-->0/37 = 0,00073046
0/37-->1/37-->0/37 = 0,027027027
1/37-->0/37-->0/37 = 0,027027027
1/37-->0/37-->1/37 = 0,00073046

----> 0,083292203 Eine Null bei den 3 Würfen zu bekommen,
also knapp 8%.

Bei 100/37 * 3 sinds wie Beff sagte 8,108108108%.

EDIT:
Achso falsche Fragestellung, is klar dann^^

 

[Beff]

0/37 ist quatsch

 

[3x4|d3r4n]

Ist halt gemeint, dass die 0, 0 mal vorkommt XD

Aber hätte ich "0" geschrieben hätte es Verwechslungen gegeben.

 

[Luna]

So, Rätsel gelöst! Das Ergebnis, das mein Lehrer uns gesagt hat, war falsch. 3997/50653 stimmt.

@Beff: Ja, dass dein Ergebnis in etwa hinkommt, war klar, aber wir sollen es halt ganz genau ausrechnen. :-(

Danke an die anderen für eure Hilfe!

 

[3x4|d3r4n]

Da war gestern auch so eine Stoachastiksache bei Numb3rs,
die habe ich leider nicht richtig verstanden. Also er hat so getan,
als ob es in einer Spieltor um einen Gewinn ginge, hinter 3 Toren
waren 2 Ziegen und hinter einem ein Auto, eine sollte ein "Tor"
auswählen, dann half er nach und hat eins der beiden anderen Tore
geöffnet hinter dem eine Ziege war. Und jetzt hatte sie die Chance
sich umzuentscheiden und ihr Tor zu wechseln. Jetzt weiß ich leider
nicht mehr was richtig ist: Ist es egal, ob sie wechselt, weils ja 50/50
Chance ist, oder aber ist die Warscheinlichkeit 2/3 das Auto zu gewinnen,
wenn sie wechselt. Kann mir das mal wer erklären?^^

Wie kommt man denn da auf eine Warscheinlichkeit von 2/3?


EDIT:

Dieser Post entspricht meinem Geburtsdatum XD

 

[MicalLex]

Wie kommt man denn da auf eine Warscheinlichkeit von 2/3?

Also drei Tore und ein Auto. Also stehen die Chancen 1:3, das Auto zu erwischen. Nachdem ein Tor mit einer Ziege offenbart wurde, viel diese Möglichkeit ja nicht weg. Nur würde sich wohl niemand mehr für dieses Tor entscheiden. Dennoch bleibt die die Wahl zwischen drei Toren, von denen eins das Auto verbirgt und ein zweites schon als Niete identifiziert werden kann, was indirekt zum Auto führt. Also 2:3.

 

[3x4|d3r4n]

Naja aber es geht ja darum, dass die Chance das Auto zu gewinnen angeblich
höher ist, wenn man das gewählte Tor wechselt, als wenn man bei seiner
Entscheidung bleibt. Das Tor mit der Ziege steht doch auch nicht mehr zur
Auswahl .

Es soll auf jeden Fall am Ende so sein, das die Warscheinlichkeit das Auto
zu gewinnen größer ist, wenn man das Tor wechselt, wenn man denn die
Möglichkeit hat. Aber warum erhöht das die Chance?

Laut deiner Theorie wäre die Chance aufs Auto,
wenn man nicht wechselt ebenfalls 2/3.

 

[MicalLex]

Laut deiner Theorie wäre die Chance aufs Auto,
wenn man nicht wechselt ebenfalls 2/3.

Ja, so ist es. Aber dann sag doch vorher, daß die Wahrscheinlichkeit für den Wechsel gilt. Vermutlich ist es dann viel simpler und zwar, weil man zwei Mal wählen darf...

 

[3x4|d3r4n]

1. hab ichs vorher gesagt und 2., warum sollte es denn eine Warscheinlichkeit
von 2/3 sein, wenn man 2 mal wählen darf, nur weil man sich um enscheidet.

Theorethisch könnte hinter jedem der beiden Tore das Auto sein,
50/50 halt, aber bei dem einen ist die Warscheinlichkeit höher, nämlich
in dem Fall in dem man sich UMentscheidet, es geht net darum, dass man 2
Mal wählen darf.

 

[wernersg]

Da war gestern auch so eine Stoachastiksache bei Numb3rs,
die habe ich leider nicht richtig verstanden. Also er hat so getan,
als ob es in einer Spieltor um einen Gewinn ginge, hinter 3 Toren
waren 2 Ziegen und hinter einem ein Auto, eine sollte ein "Tor"
auswählen, dann half er nach und hat eins der beiden anderen Tore
geöffnet hinter dem eine Ziege war. Und jetzt hatte sie die Chance
sich umzuentscheiden und ihr Tor zu wechseln. Jetzt weiß ich leider
nicht mehr was richtig ist: Ist es egal, ob sie wechselt, weils ja 50/50
Chance ist, oder aber ist die Warscheinlichkeit 2/3 das Auto zu gewinnen,
wenn sie wechselt. Kann mir das mal wer erklären?^^

Wie kommt man denn da auf eine Warscheinlichkeit von 2/3?


Ganz einfach:
Wenn man bei seinem Tor bleiben wuerde,gewinnt man von 999 mal 333 mal.
Der Umkehrschluss:wenn man das Tor wechselt,wuerde man 666mal gewinnen.
Also,wenn sie wechselt verdoppeln sich Ihre Gewinnchancen!

 

[Lord Duran]

@wernersg

Ich denke die Frage hat sich schon geklärt, da dieser Thread schon fast 2 Jahre alt ist.